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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
5.
Calcule las siguientes integrales usando la Regla de Barrow y las propiedades de linealidad de la integral.
d) $\int_{0}^{64}(2 \sqrt{x}+\sqrt[3]{x}) d x$
d) $\int_{0}^{64}(2 \sqrt{x}+\sqrt[3]{x}) d x$
Respuesta
Ahora queremos calcular esta integral definida:
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$\int_{0}^{64}(2 \sqrt{x}+\sqrt[3]{x}) d x$
Cálculo de primitivas:
Para calcular esta primitiva, primero nos va a convenir escribirla así:
$\int (2x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}}) \, dx$
Y ahora integramos con las reglas que vimos para polinomios, nos queda:
$\int (2x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}}) \, dx = 2\cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C$
Reacomodamos:
$\int (2x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}}) \, dx = \frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + C$
Aplicamos Barrow:
$\int_{0}^{64}(2x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}}) \, dx = \left(\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} \right)\Big|_{0}^{64} = \left(\frac{4}{3}(64)^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{4}(64)^{\frac{4}{3}} \right) - \left(\frac{4}{3}(0)^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{4}(0)^{\frac{4}{3}} \right) = \frac{4}{3}(512) + \frac{3}{4}(256) = \frac{2624}{3}$
Por lo tanto, el resultado es
$\int_{0}^{64}(2 \sqrt{x}+\sqrt[3]{x}) d x = \frac{2624}{3}$